A MATEMÁTICA DAS COISAS

«Se convidarmos um grupo de amigos para o nosso jantar de anos e quisermos preencher uma mesa de quatro pessoas, podemos ter de escolher os nosso três companheiros de entre cinco amigos. Mas o António está zangado com a Beatriz, sua antiga namorada. E esta e o Carlos são inseparáveis. Ora o Carlos, que é amigo do António, está de relações cortadas com o Daniel. E este, por seu turno, não dá um passo sem trazer consigo a Eduarda, que não pode ver o António à frente. Como se resolve este quebra-cabeças?»
Este é a primeira questão do livro A MATEMÁTICA DAS COISAS de Nuno Crato, livro que é lançado hoje.
Um livro a não perder...

Jogo do Rio

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Quais as Idades que tinham os Gatos do João e do José?

Durante uma festa de Natal, dois irmãos, João e José, relembram dois gatinhos que nasceram na casa de aldeia onde viviam quando eram crianças. Eram filhos da mesma gata mas não da mesma ninhada.
Quando o gato mais novo fez um ano de idade as crianças fizeram uma festa de aniversário e compraram sardinhas como prenda.

João não se lembrava da idade deles quando tiveram que mudar de casa, mas tinha memorizado o valor da soma das idades que os gatos tinham na altura.

O José lembra-se então e diz: engraçado, eu não me lembro das idades nem da soma, mas memorizei o valor do produto das idades dos gatos.

Responde o João: Já sei quais são as idades.

Blogue das Artes

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TERNOS PITAGÓRICOS

Como prometi na aula de hoje, cá vai para a Ana Isabel e para todos alguma informação sobre os ternos pitagóricos.
Chamam-se ternos pitagóricos aos conjuntos de três números inteiros que podem representar os comprimentos dos catetos e da hipotenusa de um triângulo rectângulo.
São pitagóricos os ternos
3,4 e 5
5,12 e 13
7, 24 e 25
etc.
Mas como gerar números pitagóricos?
Alguns matemáticos da grécia antiga criaram processos para gerar números pitagóricos. Um destes processos, criado por Diofanto, afirma que , dados dois qualquer números naturais, m e n, os naturais:
diferença dos quadrados de m e n
dobro do produto de m por n
e
soma dos quadrados de m e n
formam um terno pitagórico.
è fácil de provar!
Também se pode provar que o raio da circunferência inscrita num triângulo em que os comprimentos dos lados são um terno pitagórico gerado pelo método de Diofanto é igual a n(m-n)


Nesta figura estão representados todos os ternos pitagóricos. As coordenadas rectangulares são as medidas dos catetos de cada triângulo e a medida da hipotenusa é o módulo do complexo a+bi (para módulos menores que 4500!)

CONJECTURAS E PROVAS

Este ano já falamos de conjecturas. Nada melhor para ilustrar este conceito do que o texto de Nuno Crato , publicado no Expresso de 29 de Março

A CONJECTURA FOI FORMULADA em 1937 pelo matemático alemão Lothar Collatz. Trata-se de uma suposição matemática, algo que se imagina ser verdadeiro mas que não se conseguiu ainda provar nem rejeitar. E, tal como algumas das mais célebres suposições matemáticas, é fácil de entender, mas parece tremendamente difícil de provar ou rejeitar.
Diz a conjectura de Collatz que, fazendo certas operações sucessivas a partir de qualquer número natural (inteiro positivo), se obtém sempre o número 1.
Funciona da seguinte forma:
Começa-se com um número inteiro positivo. Se esse número for par, divide-se por 2. Se for ímpar, multiplica-se por 3 e soma-se 1. Ao fim disto obtém-se um novo número e repete-se o processo. Lothar Collatz conjecturou que, prosseguindo recursivamente esta sequência de operações, se atinge inevitavelmente o número 1.
Nada melhor que um exemplo. Comece-se com 6. Como é par, divide-se por 2 e obtém-se 3. Como este é ímpar, multiplica-se por 3, soma-se 1 e obtém-se 10. Prossegue-se... Se o leitor fizer as contas verificará que obtém os números: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Atinge 1, portanto. Pode tentar com outros números. Acabará quase certamente por encontrar 1, pois muitos outros o tentaram e chegaram sempre à unidade.
O investigador português Tomás Oliveira e Silva explorou um grande número de hipóteses, começando no número 1 e ultrapassando o número 27 mil milhões de milhões. Não encontrou nenhum caso em que a sequência não atingisse 1.
É um resultado importante, mas não basta aos matemáticos. Pode muito bem acontecer que haja um número ainda não explorado que falhe a conjectura. Sem uma demonstração rigorosa ou sem encontrar tal hipotético número, continuamos sem o saber.

Nuno Crato, matemático português ( de certeza já o viram e ouviram na televisão), ganhou, em Março, o importante prémio "Science Communicator of the Year", antigo "Prémio Descartes".