Imagine que entramos num casino que nos propõe o seguinte jogo. Colocamos 100 euros em cima da mesa e ganhamos ou perdemos atirando uma moeda ao ar. Se cair caras ganhamos 40 euros; se cair coroas perdemos 30 euros. Devemos aceitar o jogo?
Se a moeda estiver equilibrada e for lançada honestamente, as probabilidades são iguais. Ganhamos 40 euros com probabilidade 1/2 e perdemos 30 euros com probabilidade 1/2. O valor esperado deste jogo é 40/2-30/2, ou seja, 5 euros. Isto significa que, se pusermos muitas vezes 100 euros em cima da mesa e repetirmos o jogo, ao fim de um número grande de lançamentos teremos ganho, aproximadamente, 5 euros por lançamento. Ao fim de mil jogadas deveremos acumular uns 5000 euros. Vale a pena ir a este casino. Para nós, é uma máquina de fazer dinheiro.
O funcionário, contudo, sabe que é uma maçada estar sempre a colocar 100 euros em cima da mesa e resolve simplificar-nos a vida. Em vez de ganharmos, de cada vez, 40%, ou perdermos 30%, sobre 100 euros, como ao princípio, colocamos os 100 euros em cima da mesa e repetimos o jogo ganhando de cada vez 40% ou perdendo 30% do que tiver ficado em cima da mesa. Assim, por exemplo, se sair 'caras, caras, coroas', os 100 euros transformam-se em 140, a que se somam 40% de 140, ficando 196, a que se retira 30% de 196, ficando 137,20, e assim por diante.
O funcionário do casino parece estar a facilitar-nos a vida. Porque não 5o? Pomos a máquina de fazer dinheiro a rolar e vamos dar uma volta, satisfeitos. Aproveitamos para jantar bem e beber melhor. É à conta do jogo.
Duas horas depois passamos pela mesa para recolher o nosso dinheiro. Entretanto, a moeda foi lançada ao ar 100 vezes. Quanto dinheiro esperamos recolher? Várias centenas, não?
Ficamos surpreendidos, pois o funcionário dá-nos apenas 13 cêntimos. E as nossas testemunhas dizem-nos que, caso extraordinário, 'caras' apareceu 50 vezes e 'coroas' outras tantas. O jogo foi equilibrado. Como pode isto ter acontecido?
Pode! Ao fazer o jogo sequencialmente, o resultado é o produto de 100 euros por 140%, 50 vezes, e por 70%, outras 50 vezes. Faça o leitor as contas. Sobram-nos 36 cêntimos. É que 140% de 70% é 98%, ou seja, por cada sequência 'caras-coroas' perdemos 2% do dinheiro em cima da mesa.
Este paradoxo, que afinal se percebe bem fazendo contas simples, é uma curiosidade simples da chamada Matemática Recreativa, tema que na semana passada trouxe a Portugal vários peritos internacionais da área. Realizou-se um colóquio em Évora, por iniciativa da Associação Ludus, e houve várias pequenas conferências em Lisboa. Numa delas, organizada pelo centro de investigação Cemapre, o matemático David Wolfe teve oportunidade de discutir este pequeno paradoxo dos jogos, que vale sobretudo pelo que sugere noutras áreas. Uma coisa é somar valores esperados outra coisa é multiplicá-los.
Transponha o leitor o problema para o cálculo de juros bancários. Se um banco lhe fizer um empréstimo cobrando 4% de juros em cada semestre e o remunerar em 8% ao ano pelos seus depósitos a prazo, quem fica a ganhar? Ou pense no seu salário. Se for aumentado em 5% e a inflação for de 5% será que fica a ganhar, a perder, ou exactamente na mesma?
1 comentário:
Achei excelente esse texto sobre paradoxo, como tenho fascinação por essa espécie de raciocínio, escrevi o texto a baixo, o qual transcrevo. Também tenho um blog: www.jairclopes.blogspot.com no qual publico minhas opiniões, na maioria voltadas para a preservação da natureza. Abraços, JAIR.
TUDO E NADA
Todos lembramos de nossas primeiras aulas de geometria em que o professor nos explicava os conceitos e definições necessários a compreensão das figuras geométricas elementares. “Uma reta é a menor distância entre dois pontos”; “uma circunferência é uma linha curva fechada eqüidistante de um ponto”; “um plano pode ser definido por três pontos não alinhados no espaço” etc. E o PONTO hein? Como era definido o ponto? Nesta altura da aula as explicações ficavam meio que na área das indeterminações, chegando as vezes próximas a conceitos filosóficos, não havia uma definição assimilável simples para o ponto e os “cruzamento de duas linhas”, “pequeno sinal semelhante ao que o lápis imprime no papel” eram conceitos menos que satisfatórios, de modo que apelávamos para os dicionários e lá estava: “Configuração geométrica sem dimensão e que se caracteriza por sua posição” (Aurélio); “a grandeza considerada, em abstrato, sem dimensão alguma” (Francisco Fernandes). Pronto! Finalmente o ponto já era alguma coisa, ou seja, nada. Alguma coisa sem dimensão entende-se que seja sem altura, largura e profundidade, não é mesmo? Tínhamos um ente que entrava compulsoriamente em conceitos fundamentais para a compreensão da geometria, ou seja, das linhas, figuras e sólidos e esse ente era uma “coisa” absolutamente adimensional, um nada! Agora ampliemos nosso raciocínio e tomemos qualquer objeto ou ser que exista. Não nos preocupemos de que matéria ele é composto, apenas consideremos que podemos dividi-lo e subdividi-lo quase infinitas vezes, até torná-lo irreconhecível, apenas pontos. Vejam bem! PONTOS! Podemos dizer que qualquer objeto compõem-se de pontos, não é mesmo? Ora o PONTO, como vimos, é adimensional, sem altura, largura ou profundidade. Conclui-se que, se tudo que existe é composto por pontos que não são nada, então TUDO é NADA.
JAIR CORDEIRO LOPES
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