quinta-feira, 28 de maio de 2009

Atlas


"DIMITRI: Se o Atlas contém o mundo, o que o Atlas?
TASSO: O Atlas está nas costas de uma tartaruga.
DIMITRI: Mas onde está a tartaruga?
TASSO: Noutra tartaruga.
DIMITRI:: E onde está essa tartaruga?
TASSO: Meu caro Dimitri, são tartarugas até ao fundo!


Este excerto de um diálogo grego antigo ilustra na perfeição a noção filosófica de regressão infinita, um conceito que surge quando perguntamos se existe uma Primeira Causa - da vida, do universo, do tempo e espaço, e, mais importante, de um Criador.
Platão e um ornitorrinco entram no bar..., Thomas Cathcart, Daniel Klein

domingo, 24 de maio de 2009

Nicolau Copérnico


Nicolau Copérnico, Matemático e Astrónomo polaco (nasceu em Torun em 1473) morreu há exactamente 466 anos.
Dez anos antes de morrer já tinha desenvolvido a sua Teoria Heliocêntrica segundo a qual a Terra girava à volta do Sol. Esta teoria contrariava a teoria vigente, Teoria geocêntrica de Ptolomeu.
.
No entanto guardou-a como segredo e só próximo da morte a publicou no livro Da revolução das esferas celestes. Adivinhava a polémica que viria da divulgação desta teoria que se opunha às convicções da época. E tinha razão - sabemos o que se passou, quase um século mais tarde, com Galileu Galilei.

Nos Lusíadas(X,154) Camões diz:"Nem me falta na vida honesto estudo, ..., com longa experiência misturado". Ler este interessante artigo de Nuno Crato sobre Camões e Copérnico

terça-feira, 19 de maio de 2009

Doces fractais


Receita aqui

TUDO E NADA

Texto de Jair Cordeiro Lopes do Um blog que pensa

TUDO E NADA

Todos lembramos de nossas primeiras aulas de geometria em que o professor nos explicava os conceitos e definições necessários a compreensão das figuras geométricas elementares. “Uma reta é a menor distância entre dois pontos”; “uma circunferência é uma linha curva fechada eqüidistante de um ponto”; “um plano pode ser definido por três pontos não alinhados no espaço” etc. E o PONTO hein? Como era definido o ponto? Nesta altura da aula as explicações ficavam meio que na área das indeterminações, chegando as vezes próximas a conceitos filosóficos, não havia uma definição assimilável simples para o ponto e os “cruzamento de duas linhas”, “pequeno sinal semelhante ao que o lápis imprime no papel” eram conceitos menos que satisfatórios, de modo que apelávamos para os dicionários e lá estava: “Configuração geométrica sem dimensão e que se caracteriza por sua posição” (Aurélio); “a grandeza considerada, em abstrato, sem dimensão alguma” (Francisco Fernandes). Pronto! Finalmente o ponto já era alguma coisa, ou seja, nada. Alguma coisa sem dimensão entende-se que seja sem altura, largura e profundidade, não é mesmo? Tínhamos um ente que entrava compulsoriamente em conceitos fundamentais para a compreensão da geometria, ou seja, das linhas, figuras e sólidos e esse ente era uma “coisa” absolutamente adimensional, um nada! Agora ampliemos nosso raciocínio e tomemos qualquer objeto ou ser que exista. Não nos preocupemos de que matéria ele é composto, apenas consideremos que podemos dividi-lo e subdividi-lo quase infinitas vezes, até torná-lo irreconhecível, apenas pontos. Vejam bem! PONTOS! Podemos dizer que qualquer objeto compõem-se de pontos, não é mesmo? Ora o PONTO, como vimos, é adimensional, sem altura, largura ou profundidade. Conclui-se que, se tudo que existe é composto por pontos que não são nada, então TUDO é NADA. 

JAIR CORDEIRO LOPES 

segunda-feira, 18 de maio de 2009

Wolfram Alpha


Abriu hoje o maior motor de busca - o Wolfram-Alpha . É um novo "motor do conhecimento computacional". Baseia-se no sistema de algoritmos Mathematica desenvolvido pela Wolfram Research.

Alguns exemplos:
  • Resolver equações e representação destas no plano complexo





  • Representar gráficos de funções indicando o seu máximo ou mínimo



  • Factorizar números


  • Factorizar expressões


Tem muitas mais potencialidades. Vale a pena explorar!!!

sábado, 16 de maio de 2009

A Terra é uma superfície 2D

porque todo o ponto está completamente definido por duas coordenadas - Latitude e Longitude


video

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sexta-feira, 15 de maio de 2009

Baskhara II


Bhaskara II foi o mais importante matemático Hindu do século XII. A sua importante obra matemática está registada em 6 livros: Lilavati, Bijaganita, Siddhantasiromani, Vasanabhasya of Mitaksara, Karanakutuhala ou Brahmatulya e Vivarana .

Um problema de aritmética do livro Lilavati

“A quinta parte de um enxame de abelhas pousou numa flor de Kadamba, a terça parte numa flor de Silinda, o triplo da diferença entre estes dois números, voa sobre uma flor de Krutaja. E uma abelha sozinha, no ar, atraída pelo perfume de um jasmim e de um pandnus.

Diz-me, bela menina, qual é o número das abelhas?”

terça-feira, 12 de maio de 2009

NUMB3RS e a probabilidade

segunda-feira, 11 de maio de 2009

O trabalho de AP do 12º5

O mistério da estrada do Bom Jesus (Braga)

domingo, 10 de maio de 2009

Paradoxos do jogo

Texto de Nuno Crato no Expresso de ontem e que será discutido numa das próximas aulas:


Imagine que entramos num casino que nos propõe o seguinte jogo. Colocamos 100 euros em cima da mesa e ganhamos ou perdemos atirando uma moeda ao ar. Se cair caras ganhamos 40 euros; se cair coroas perdemos 30 euros. Devemos aceitar o jogo?

Se a moeda estiver equilibrada e for lançada honestamente, as probabilidades são iguais. Ganhamos 40 euros com probabilidade 1/2 e perdemos 30 euros com probabilidade 1/2. O valor esperado deste jogo é 40/2-30/2, ou seja, 5 euros. Isto significa que, se pusermos muitas vezes 100 euros em cima da mesa e repetirmos o jogo, ao fim de um número grande de lançamentos teremos ganho, aproximadamente, 5 euros por lançamento. Ao fim de mil jogadas deveremos acumular uns 5000 euros. Vale a pena ir a este casino. Para nós, é uma máquina de fazer dinheiro.

O funcionário, contudo, sabe que é uma maçada estar sempre a colocar 100 euros em cima da mesa e resolve simplificar-nos a vida. Em vez de ganharmos, de cada vez, 40%, ou perdermos 30%, sobre 100 euros, como ao princípio, colocamos os 100 euros em cima da mesa e repetimos o jogo ganhando de cada vez 40% ou perdendo 30% do que tiver ficado em cima da mesa. Assim, por exemplo, se sair 'caras, caras, coroas', os 100 euros transformam-se em 140, a que se somam 40% de 140, ficando 196, a que se retira 30% de 196, ficando 137,20, e assim por diante.

O funcionário do casino parece estar a facilitar-nos a vida. Porque não 5o? Pomos a máquina de fazer dinheiro a rolar e vamos dar uma volta, satisfeitos. Aproveitamos para jantar bem e beber melhor. É à conta do jogo.

Duas horas depois passamos pela mesa para recolher o nosso dinheiro. Entretanto, a moeda foi lançada ao ar 100 vezes. Quanto dinheiro esperamos recolher? Várias centenas, não?

Ficamos surpreendidos, pois o funcionário dá-nos apenas 13 cêntimos. E as nossas testemunhas dizem-nos que, caso extraordinário, 'caras' apareceu 50 vezes e 'coroas' outras tantas. O jogo foi equilibrado. Como pode isto ter acontecido?

Pode! Ao fazer o jogo sequencialmente, o resultado é o produto de 100 euros por 140%, 50 vezes, e por 70%, outras 50 vezes. Faça o leitor as contas. Sobram-nos 36 cêntimos. É que 140% de 70% é 98%, ou seja, por cada sequência 'caras-coroas' perdemos 2% do dinheiro em cima da mesa.

Este paradoxo, que afinal se percebe bem fazendo contas simples, é uma curiosidade simples da chamada Matemática Recreativa, tema que na semana passada trouxe a Portugal vários peritos internacionais da área. Realizou-se um colóquio em Évora, por iniciativa da Associação Ludus, e houve várias pequenas conferências em Lisboa. Numa delas, organizada pelo centro de investigação Cemapre, o matemático David Wolfe teve oportunidade de discutir este pequeno paradoxo dos jogos, que vale sobretudo pelo que sugere noutras áreas. Uma coisa é somar valores esperados outra coisa é multiplicá-los.

Transponha o leitor o problema para o cálculo de juros bancários. Se um banco lhe fizer um empréstimo cobrando 4% de juros em cada semestre e o remunerar em 8% ao ano pelos seus depósitos a prazo, quem fica a ganhar? Ou pense no seu salário. Se for aumentado em 5% e a inflação for de 5% será que fica a ganhar, a perder, ou exactamente na mesma?

quinta-feira, 7 de maio de 2009

A Educação e a criatividade

Conferência de Sir Ken Robinson no TEDtalks de Fevereiro de 2006 em Monterey.
E porque Matemática é Arte... é preciso criatividade!

(enviado pelo professor Nuno Pera)

segunda-feira, 4 de maio de 2009

Vasco Granja e a Matemática


Recordo Vasco Granja, no Teatro da nossa escola, no fim dos anos setenta. O entusiasmo com que falava da Matemática presente nos filmes de animação do National Board Film (Canadá) e especialmente nos filmes de Norman McLaren!




(futuramente colocarei aqui a simpática carta que Vasco Granja me escreveu a aceder a vir à nossa escola falar da Matemática no cinema de animação)

Almanaque Lello - Figuras equivalentes

domingo, 3 de maio de 2009

Claire de lune de Claude Débussy

sexta-feira, 1 de maio de 2009

Paulo Freire e a matemática


"Quando a gente olha o relógio, por exemplo, a gente já estabelece a quantidade de minutos que a gente tem para, se acordou mais cedo, se acordou mais tarde, para saber exatamente a hora em que vai chegar à cozinha, que vai tomar o café da manhã, a hora que vai chegar o carro que vai nos levar ao seminário, para chegar às oito. Quer dizer, ao despertar os primeiros movimentos, lá dentro do quarto, são movimentos matematicizados. Para mim essa deveria ser uma das preocupações, a de mostrar a naturalidade do exercício matemático. Lamentavelmente, o que a gente vem fazendo, e eu sou um brasileiro que paga, paga caro... Eu não tenho dúvida nenhuma que dentro de mim há escondido um matemático que não teve chance de acordar, e eu vou morrer sem ter despertado esse matemático, que talvez pudesse ter sido bom. Bem, uma coisa eu acho, que se esse matemático que existe dormindo em mim tivesse despertado, de uma coisa eu estou certo, ele seria um bom professor de matemática. Mas não houve isso, não ocorreu, e eu pago hoje muito caro, porque na minha geração de brasileiras e brasileiros lá no Nordeste, quando a gente falava em matemática, era um negócio para deuses ou gênios. Se fazia uma concessão para o sujeito genial que podia fazer matemática sem ser deus. E com isso, quantas inteligências críticas, quantas curiosidades, quantos indagadores, quanta capacidade abstrativa para poder ser concreta, perdemos."

Trecho retirado de uma entrevista concedida por Paulo Freire ao professor Ubiratan D'Ambrosio.
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