Problema das olimpíadas

O Gonçalo e o Raúl estão a praticar piano, tocando alternadamente uma nota cada um. O Gonçalo repete a sequência Mi, Sol, Si, Lá, Dó, enquanto que o Raúl toca a sequência Fá, Ré, Fá, Lá, Dó, Sol, Si, de forma que as primeiras notas tocadas são Mi, Fá, Sol, Ré, Si, Fá, Lá, Lá.

Ao fim de quantas notas se ouve a sequência Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si, Dó?

Resolução:

Para a sequência Dó Ré Mi Fá Sol Lá Si Dó se ouvir as sequências vão-se enqaixar da seguinte maneira:

n.........Mi__Sol__Si__Lá__Dó__Mi__Sol__Si___Lá__Dó

y.....................................Fá__Ré__Fá__ Lá__Dó__Sol__Si

n-nºde vezes que o Gonçalo toca a sequência.

y-nº de vezes que o Raúl toca a sequência

Sabemos que o Gonçalo e o Raul vão tocar o mesmo nº de notas até surgir a sequência Dó Ré Mi Fá Sol Lá Si Dó. O Gonçalo toca n vezes a sua sequencia completa mais 4 notas (Mi Sol Si Lá) e o Raúl toca y vezes a sua sequência mais uma nota (Fá).

Logo: 5n+4=7y+1 <=> n=(7y-3)/5

Como n e y são valores inteiros positivos, o menor valor que y pode tomar e 4 e o n=5.

O Total de notas tocadas é: 5n+4+7y+1=5x5+4+7x4+1=58 notas.

São tocadas 58 notas antes de se ouvir a sequência Dó Ré Mi Fá Sol Lá Si Dó.