Na primeira aula todos os alunos receberam um pedaço de papel onde estava este quadro de dupla entrada. Pedi-lhes que:
- Completassem o quadro de somas.
- Escolhessem, entre os 16 números, um qualquer e cortassem todos os outros que estavam na mesma linha e na mesma coluna.
- Dos 9 números restantes, escolher um e cortar os que estão na mesma linha e na mesma coluna.
- Dos 4 restantes, escolher um e, de novo, cortar os que estão na mesma linha e na mesma coluna.
- Resta um número.
- Qual a soma dos 4 números não cortados?
Perguntas:
- Quantas escolhas diferentes podem ser feitas?
- Como se explica este resultado?
- De que é que depende o resultado?
Assisti, numa noite deste verão, uma sessão na Livraria 100ª página de Magia Matemática do professor José Paulo Viana. Ele não apresentou os números geradores, só os 16 números resultantes. Foi espectacular!
7 comentários:
- Como se explica este resultado?
O resultado é igual à soma dos números -11,3,6,8 com -5,-4,7,12:
-11+3+6+8-5-4+7+12 = 16
Quando se corta um número na posição (i,j) (com i=1,2,3,4 e j=1,2,3,4) da tabela vazia, em que i é a linha e j a coluna, cortam-se todos os restantes da mesma linha e da mesma coluna, daí resultando que a soma de todos os números cortados no passo 2 é igual ao número que está do lado esquerdo da linha com o que está em cima da coluna. No passo 3 passa-se o mesmo, bem como no passo 4, e finalmente no 5, o último número é também ele a soma do número que encima a linha e do que ladeia a coluna. Assim sendo, cada par de números do lado esquerdo da linha e em cima da coluna é considerado uma e uma só vez. No fim todos são contados, dando a sua soma, que é única, 16, independentemente da sequência como se cortam os números.
Esta matriz (ou tabela) é conhecida por "matriz mágica de Martin Gardner".
- De que é que depende o resultado?
Da soma dos números que colocar à esquerda e em cima.
Quantas escolhas diferentes podem ser feitas?
Julgo serem (4!)(4!)(4!) = (24)(24)(24) = 24(576) = 13824.
As linhas podem permutar-se 4! vezes, bem como as colunas. Para cada permutação há 4! escolhas possíveis dos elementos da diagonal principal.
Na realidade penso que só há 16x9x4x1 escolhas possíveis:
Na 1ª escolha há 16 hipóteses, mas, depois de escolhido um dos números eliminam-se os 6 números que estão na mesma linha ou coluna.
Assim, na 2ª escolha há 9 hipóteses, mas, depois de escolhido um dos números eliminam-se os 4 números que estão na mesma linha ou coluna.
Para a 3ª escolha só há 4 hipótese e a 4ª escolha é única
A "problemas e Teoremas":
não publiquei imediatamente o 1º comentário para deixar as outras cabeças a pensar...
Cara Prof.
1 - a) Realmente só há (4!)(4!) escolhas diferentes possíveis. O meu erro, penso, foi o de não ver que a escolha dos elementos da diagonal não é independente das escolhas nas linhas e nas colunas. Ou, dito de outra forma, numa tabela deste tipo, dos três conjuntos das linhas, colunas e diagonal só dois deles é que são independentes.
b) O seu resultado também me parece agora poder ser interpretado como havendo 16 números possíveis na 1.ª escolha, 9 na 2.ª, 4 na 3.ª e 1 na 4.ª.
2 - Foi o que pensei, quando reparei que demorou algum tempo a aparecer o meu 1.º comentário. Se o blog fosse do WordPress, seria automaticamente notificado, assim não.
Cumprimentos
Américo Tavares
Olá amigos, deixo aqui a minha dica:
A Rede de Popularização da Ciência e da Tecnologia da América Latina e do Caribe (Red-POP) recebe até 15 de novembro, propostas de trabalho para a 12ª Reunião Bienal que acontece no Brasil, organizada pelo Museu Exploratório de Ciências (MC), da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), de 29 de maio a 2 de junho de 2011.
Com o tema “A profissionalização do trabalho de divulgação científica”, o encontro aceitará tanto trabalhos de pesquisa, de caráter acadêmico, quanto de profissionais da área, interessados em relatar suas experiências. Cinco eixos temáticos vão nortear a 12ª Reunião: Educação não-formal em ciências; Jornalismo científico; Programas e materiais para museus de ciências: materiais e práticas concretas; Museografia e museologia científica; Público, impacto e avaliação dos programas.
Publicado em:
http://essm-departamentodecinciasexactas.blogspot.com/2010/10/rede-de-popularizacao-da-ciencia-e-da.html
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