O carbono 60, a bola de futebol e a igualdade de Euler

A 3 de Setembro a Google apresentava um banner celebrando os 25 anos da descoberta dos fulerenos por Robert F. Curl Jr., Sir Harold W. Kroto e Richard E. Smalley (esta descoberta valeu o Prémio Nobel da Química de 1996 a estes investigadores).

O que são fulerenos?

Fulerenos são  formas muito estáveis do carbono. Um dos fulerenos é o C60 designado por buckminsterfulereno em homenagem ao arquitecto Buckminster Fuller ( 1895-1983) pelas suas famosas estruturas - as cúpulas geodésicas.

Pela semelhança da sua estrutura com a de uma bola de futebol também se designa este alótropo do carbono por buckyball ou futeboleno.








Do icosaedro à bola de futebol

Truncando os vértices de um icosaedro chegamos ao poliedro que deu origem à bola de futebol.

A geometria da bola de futebol
Na bola de futebol há 60 vértices (V = 60) e 32 faces (F = 32). Como em cada vértice confluem 3 arestas, então há 90 arestas ( A = 3x60/2) (nota que cada aresta "conta" para dois vértices). Verifica-se aqui a igualdade de Euler (F + V = A + 2).


Quantas faces pentagonais há em qualquer fulereno?
Em qualquer fulereno cada átomo - vértice- está ligado a 3 outros átomos. O número de ligações - arestas - é então A = 3V/2 ou seja V = 2A/3.
Da igualdade de Euler vem que F + 2A/3 = A + 2 e obtemos F = A/3 + 2.
Mas num fulereno há P faces pentagonais e H faces hexagonais o que implica que:
F = P + H e A =(5P + 6H)/2 ( 5 arestas de cada pentágono e 6 arestas de cada hexágono, sendo cada aresta "partilhada" por duas faces).
Assim A = (5P + 6(A/3 +2 - P))/2 equação que resolvida dá P=12. Assim qualquer fulereno tem 12 faces pentagonais variando unicamente o número de faces hexagonais.
No caso do C60, cada pentágono está rodeado por um colar de cinco hexágonos. Se o número desses colares ao redor de cada pentágono for aumentado para 2, 3 ou mais, obtém-se uma família de fulerenos gigantes que começa com C240 e C540 (a família é dada por C60n2, onde n = 1, 2, 3 etc.).
Essas moléculas, à medida que se tornam maiores, ficam menos esféricas.


Para saber mais sobre a geometria dos fulerenos:
Romeu C. Rocha Filho, Os fulerenos e a sua espantosa geometria molecular, na revista Química Nova na Escola, nº4 de Novembro de 1996