terça-feira, 30 de março de 2010

A moeda de Bertrand


Um problema clássico, para o vosso desassossego:
Tenho três caixas tendo uma delas duas moedas de ouro, outra uma moeda de ouro e outra de prata, e a outra duas de prata. De uma das caixas tira-se uma moeda de ouro. Qual a probabilidade de a moeda que ficou na caixa seja e ouro?

5 comentários:

problemasteoremas disse...

Se não me engano, a probabilidade é 1/2.

Justificação (sem grande rigor de notação):

1.º método (O -- ouro, P -- prata):

1.ª moeda,2.ª moeda
(O,O)
(O,O)
(O,P)
(P,O)
(P,P)
(P,P)

N.º de pares ordenados em que o segunto elemento é ouro / N.º total de pares ordenados = 3/6 = 1/2

2.º método (sabendo-se que a 1.ª moeda de ouro):

1 caixa favorável: {O,O}
2 caixas possíveis: {O,O},{O,P}

A Probabilidade é então 1/2.

Nota: a caixa restante {P,P} exclui-se.

Américo Tavares

problemasteoremas disse...

Logo no dia da publicação disse que a probabilidade pedida era

1/2,

justificando de seguida.

Não chegou a ser recebido o meu comentário?

Américo Tavares

Fernanda Carvalhal disse...

Na realidade este é um paradoxo probabilístico. A probabilidade é 2/3. Ver em http://www.sedentario.org/colunas/duvida-razoavel/porta-dos-desesperados-5853

problemasteoremas disse...

Espalhei-me completamente, o que não me admira, porque as probabilidades são (ou podem ser) muito matreiras.

Sabendo já qual é o resultado (2/3), vou corrigir o meu raciocínio anterior, tentando aproveitar o que puder.

Os casos possíveis, seis, são:

#1 (O,O)
#2 (O,O)
#3 (O,P)
#4 (P,O)
#5 (P,P)
#6 (P,P)

ou, na notação do autor do post com a solução/explicação:

#1 (O1,O2)
#2 (O2,O1)
#3 (O,P)
#4 (P,O)
#5 (P,P)
#6 (P,P)

A probabilidade P(O) de a primeira moeda ser de ouro é igual a 1/2 (há três moedas de ouro num total de seis).

A probabilidade P(OO) de ambas serem de ouro é igual 1/3 (os casos favoráveis são o #1 e o #2, num total de seis)

Como

P(OO)=P(O) P(O/O) (*)

em que a probabilidade pedida é P(O/O) (a probabilidade da segunda moeda ser de ouro, sabendo-se que a primeira também o é).

Substituindo os valores numéricos em (*), tem-se

1/3 = 1/2 P(O/O)

donde

P(O/O) = 2/3.

Continuação de Boa Páscoa!

Américo Tavares

problemasteoremas disse...

Publiquei o enunciado, a minha resposta errada, o seu esclarecimento e o meu último comentário, no meu blogue.

O link é o que aparece nas "hiperligações para esta messagem".

Depois de alterado o meu "post" ficou com o título "Probabilidade condicionada com moedas".

Américo Tavares

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